Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分別是AB、AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如圖2），連接DB'，EC'．

（1）探究DB'與EC'的數量關系，并結合圖2給予證明；

（2）填空：

①當旋轉角α的度數為_____時，則DB'∥AE；

②在旋轉過程中，當點B'，D，E在一條直線上，且AD＝時，此時EC′的長為_____．

Answer 1

【答案】（1）DB'＝EC'，證明詳見解析；（2）①60°；②-1．

【解析】

（1）由旋轉的性質可得∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，利用“SAS”可證明△ADB'≌△AEC'，可得DB'＝EC'；（2）由平行線的性質和直角三角形的性質可求解；（3）由全等三角形的性質可得∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，由等腰直角三角形的性質可得B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，由勾股定理可求EC'的長．

（1）DB'＝EC'，

理由如下：∵AB＝AC，D、E分別是AB、AC邊的中點，

∴AD＝AE，

由旋轉可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，

∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE

∴△ADB'≌△AEC'（SAS），

∴DB′＝EC′，

（2）①∵DB′∥AE，

∴∠B'DA＝∠DAE＝90°，

∵AD＝AB，AB=AB'，

∴AD＝AB'，

∴∠AB'D＝30°，

∴∠DAB'＝60°，

∴旋轉角α＝60°，

故答案為60°，

②如圖，當點B'，D，E在一條直線上，

∵AD＝，

∴AB'＝2，

∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，

∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，

由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，

∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，

∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，

∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，

∴B'C'2＝B'E2+C'E2，

∴16＝（2+EC'）2+C'E2，

∴CE＝﹣1，

故答案為：﹣1．