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在△ABC中,∠ACB=α,∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點D,過點D作DE⊥AB于點E,若BC=mBE.
(1)當α=90°,m=1時,探究DE和BE的數量關系.
(2)求
DE
BE
的值.
考點:全等三角形的判定與性質,正方形的判定與性質,解直角三角形
專題:
分析:(1)過點D作DG⊥CG于點G,作DF⊥CA于點F,根據角平分線的性質可得出DF=DE=DG,故可得出四邊形DFCG是正方形,再由全等三角形的判定定理得出△DGB≌△DEB,故可得出BE=BG,AE=AF,再根據m=1可知點B是CG的中點,由此可得出結論;
(2)過點D作DG⊥CG于點G,連接CD,根據角平分線的性質得出DE=DG=DF,由HL定理得出△DBE≌△DBG,故可得出BE=BG,DE=DG,再根據BC=mBE可知BC=mBG.根據HL定理得出△CDF≌△CDG,故CD是∠ACB的平分線,故∠DCG=
1
2
∠AB=
α
2
,再由銳角三角函數的定義即可得出結論.
解答: 解:(1)如圖1,過點D作DG⊥CG于點G,作DF⊥CA于點F,
∵∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點D,DE⊥AB,
∴DF=DE=DG,
∵∠C=90°,
∴四邊形DFCG是正方形.
在△DGB與△DEB中,
∠DEB=∠DGB=90°
DE=DG
BD=BD

∴△DGB≌△DEB(HL),
∴BE=BG,AE=AF,
∵m=1,
∴點B是CG的中點,
∴BG=
1
2
DG,即BE=
1
2
DE;

(2)如圖2,過點D作DG⊥CG于點G,連接CD,
∵∠BAC的外角平分線與∠ABC的外角平分線交于點D,
∴DE=DG=DF,
在Rt△DBE與Rt△DBG中,
DE=DG
BD=BD

∴△DBE≌△DBG(HL),
∴BE=BG,DE=DG.
∵BC=mBE,
∴BC=mBG.
同理,△CDF≌△CDG,
∴CD是∠ACB的平分線,
∴∠DCG=
1
2
∠AB=
α
2

DG
BC
=tan
α
2
,即
DE
(m+1)BE
=tan
α
2

解得
DE
BE
=(m+1)•tan
α
2
點評:本題考查的是全等三角形的判定定理,根據題意作出輔助線,構造出全等三角形是解答此題的關鍵.
練習冊系列答案
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a+3
+(b-1)2=0,則a-b=
 

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(1)如圖,三根木條相交成∠1、∠2,固定木條b、c,轉動木條a,在木條a的轉動過程中,∠1與∠2的大小關系發生了什么變化?木條a、b的位置關系發生了什么變化?
(2)改變圖中∠1的大小,按照上面的方式再試一試,當∠2與∠1的大小滿足什么關系時,木條a與木條b平行?畫出圖形,填下列表格:
圖形   
∠2與∠1的大小關系∠2
 
∠1
∠2
 
∠1
∠2
 
∠1
木條a與b的位置關系
 
 
 
 
 

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下列說法中正確的是(  )
A、所有連接兩點的線中,直線最短
B、連接兩點之間的線段叫做兩點間的距離
C、如果點P是線段AB的中點,那么AP=BP
D、如果AP=BP,那么點P是線段AB的中點

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如圖,直線AB、CD相交于點O,若∠1+∠2=100°,則∠BOC等于(  )
A、130°B、140°
C、150°D、160°

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科目:初中數學 來源: 題型:

AD是△ABC的高,下列能使△ABD≌ACD的條件是(  )
A、BD=AC
B、∠B=45°
C、∠BAC=90°
D、AB=AC

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已知:如圖,AD∥BE,∠1=∠2,∠A=120°,求∠E的度數.

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科目:初中數學 來源: 題型:

正方形具有而菱形不一定具有的性質是(  )
A、四條邊相等
B、對角線互相垂直平分
C、對角線平分一組對角
D、對角線相等

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖1,AB=CD,AD=CB.
(1)連接BD,∠1和∠2相等嗎?說明理由.
(2)如圖2,其它條件不變,E、F分別為CD、AB延長線上任意兩點,連接EF,則∠E和∠F相等嗎?說明理由.

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同步練習冊答案
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