Question

（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，若∠A=46°那么∠D=______°；請猜想∠A與∠D之間的數量關系______，
（2）如圖②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分線且相交于點D．若∠A=46°那么∠D=______°；請猜想∠A與∠D之間的數量關系是______．
（3）如圖③，BD為∠ABC的角平分線，CD為∠ACB的外角∠ACE的角平分線，它們相交于點D，若∠A=46°那么∠D=______°；請猜想∠A與∠D之間的數量關系是______．

Answer 1

解：（1）∵∠A=46°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=134°，
∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=×134°=67°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-67°=113°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A，
故答案為：113，90°+∠A．

（2）∵∠A=46°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-46°=134°，
∴∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-134°=226°，
∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠EBC+∠FCB）=×226°=113°，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-113°=67°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
∵BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=（∠EBC+∠FCB）=×（180°+∠A）=90°+∠A，
∴∠D=180°-（90°+∠A）=90°-∠A，
故答案為：67°，90°-∠A．

（3）∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，
∵∠A=46°，∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠1-2∠2=∠A=46°，
∴∠1-∠2=23°，
∴∠D=∠1-∠2=23°，
∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠1-2∠2=∠A，
∴∠1-∠2=∠A，
∴∠D=∠1-∠2=∠A，
故答案為：23，∠A．
分析：（1）求出∠ABC+∠ACB，求出∠DCB+∠DBC，根據三角形內角和定理求出即可；
（2）求出∠ABC+∠ACB，求出?EBC+∠FCB，求出∠DBC+∠DCB，根據三角形內角和定理求出即可；
（3）求出2∠1-2∠2=∠A，求出∠1-∠2=∠A，根據三角形外角性質求出即可．
點評：本題考查了三角形外角性質，三角形內角和定理的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力．