Question

4．如圖，在正方形ABCD中，E是AD邊上的動點（與A、D不重合），點F在邊BC的延長線上，且AE=CF，連結(jié)EF與邊CD相交于點G，連結(jié)BE與對角線AC相交于點H．
（1）求證：EF∥AC；
（2）若 BE=EG，求∠BEF大�。�
（3）求證：tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$-1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定．
（2）先確定△GCF是等腰直角三角形，得出CG=AE，然后通過△BAE≌△BCG，得出BE=BG=EG，即可求得．
（3）由△BAE≌△BCG知∠ABE=∠CBG，結(jié)合∠BAC=∠F=45°證△AHB∽△FGB得$\frac{AH}{GF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{1}{\frac{BF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{BC+CF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{AB+AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+\frac{AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+tan∠ABE}$，即可求得．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四邊形AEFC是平行四邊形，
故EF∥AC．

（2）連接BG，

∵四邊形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；                  
故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE與△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠EAB=∠GCB}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌CBG（SAS），
∴BE=BG；
又∵BE=EG，
∴BE=BG=EG，△BEG是等邊三角形，
故∠BEF=60°．

（3）∵△BAE≌△BCG，
∴∠ABE=∠CBG，
∵∠BAC=∠F=45°，
∴△AHB∽△FGB，
∴$\frac{AH}{GF}$=$\frac{AB}{BF}$=$\frac{1}{\frac{BF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{BC+CF}{AB}}$=$\frac{1}{\frac{AB+AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+\frac{AE}{AB}}$=$\frac{1}{1+tan∠ABE}$，
∴1+tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$，即tan∠ABE=$\frac{GF}{AH}$-1．

點評 本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，連接BG是本題的關(guān)鍵．