Question

19．已知關于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，給出下列結論：
①當a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解；
②當x=y時，a=-$\frac{5}{3}$；
③不論a取什么實數，2x+y的值始終不變；
④若z=-$\frac{1}{2}$xy，則z的最小值為-1．
請判斷以上結論是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析 ①將a=1代入方程組，求出方程組的解，即可做出判斷；
②將x=y代入方程組，求出a的值，即可做出判斷；
③將a看做已知數求出2x+y的值即可；
④將a看做已知數求出x與y的值代入z=-$\frac{1}{2}$xy，即可做出判斷．

解答 解：關于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$．
①將a=1代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
將x=4，y=-4代入方程左邊得：x+y=0，右邊=2，左邊≠右邊，本選項錯誤；
②將x=y代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{a=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
即當x=y時，a=-$\frac{5}{3}$，本選項正確；
③將原方程組中第一個方程×3，加第二個方程得：4x+2y=8，
即2x+y=4，不論a取什么實數，2x+y的值始終不變，本選項正確；
④z=-$\frac{1}{2}$xy=-$\frac{1}{2}$（a+3）（-2a-2）=a²+4a+3=（a+2）²-1≥-1，
即若z=-$\frac{1}{2}$xy，則z的最小值為-1，此選項正確．
故正確的選項有：②、③、④．

點評 本題考查了二元一次方程組的解，解題的關鍵是牢記二元一次方程組的解題方法．