Question

14．一個Rt△ABC，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，將它放在直角坐標系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點A在反比例函數y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，則點B的坐標為（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

Answer 1

分析 設出B點坐標（a，0），借助Rt△ABC中的邊角關系，用a表示出A點坐標，將A點坐標再代入反比例函數關系式，即能求出a值，從而得解．

解答 解：過點A（點A在第一象限）做x軸的垂線，交x軸于D點，圖形如下，

①當點B在A的右側時，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
設點B的坐標為（a，0），則點A坐標為（a-1，$\sqrt{3}$），
又∵直角頂點A在反比例函數y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，解得a=3，
∴點B的坐標為（3，0）．
結合反比例函數的對稱性可知：點B的坐標可以為（-3，0）．
②當點B在A的右側時，
∵Rt△ABD，∠ADB=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2×$\frac{1}{2}$=1，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
設點B的坐標為（a，0），則點A坐標為（a+1，$\sqrt{3}$），
又∵直角頂點A在反比例函數y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴有$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{a+1}$，解得a=1，
∴點B的坐標為（1，0）．
結合反比例函數的對稱性可知：點B的坐標可以為（-1，0）．
綜上可得：點B的坐標為（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．
故答案為：（-3，0）、（-1，0）、（1，0）或（3，0）．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及含30度角的直角三角形，解題的關鍵是設出B點坐標（a，0），借助Rt△ABC中的邊角關系，用a表示出A點坐標．