Question

如圖12, 已知二次函數的圖像過點O(0,0),  A(4，0)，B()，M是OA的中點.

（1）求此二次函數的解析式;

（2）設P是拋物線上的一點,過P作軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形,求P點的坐標;

圖12

（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A(B′為B關于軸的對稱點),在原拋物線軸的上方部分取一點C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D,若△CDA的面積是△MDA面積的2倍,這樣的點C是否存在?若存在求出C點的坐標,若不存在,請說明理由.

Answer 1

解: （1）方法一：設二次函數的解析式為

則

∴  

方法二：∵圖像過點O(0,0), A（4，0），

∴設,

又B()在曲線上,∴,∴

∴                         

（2）∵M是OA的中點,OA=4,∴MA=2,

若四邊形PQAM是菱形,則PQ=2,

又根據拋物線關于對稱軸對稱,即P、Q關于直線對稱,

∴P的橫坐標為1, Q的橫坐標為3.         

∴P的坐標為(1,, Q的橫坐標為(3,.

而計算PM=,故所求的P(1,滿足四邊形PQAM是菱形  

（3）設存在這樣的C點.設C、D的坐標分別為

∵二次函數在軸下方的部分向上翻折,得曲線OB′A,

∴曲線OB′A的解析式為

若△CDA的面積是△MDA面積的2倍,

∴△CMA的面積是△MDA面積的3倍,

∴， ∴,即,

∴……………①                                   

過D,C分別作DD₁,CC₁垂直于軸,

∴△MD₁D∽△MC₁C,

∴,∴

即………………②                

將②代入①得:

,代入二次函數的解析式得

故C的坐標為,或.