Question

11．若我們規定二次函數y₁=ax²+bx+c（α≠0）的″負相關函數″為y₂=-ax²+bx-c．
（1）寫出二次函數y₁=2x²+x-3的″負相關函數″y₂；
（2）若點M（m，n）在二次函數y₁=2x²+x-3的圖象上，證明點M′（-m，-n）在它的″負相關函數″的圖象上；
（3）如圖所示是二次函數y₁=2x²+x-3和它的″負相關函數″的圖象，這兩條拋物線有兩個交點，A、B兩點分別在它們交點之間的兩條拋物線上，若線段AB平行于y軸，求線段AB的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據新定義可得；
（2）將點M（m，n）代入y₁=2x²+x-3得n=2m²+m-3，即-2（-m）²+（-m）+3=-n，從而得證；
（3）設A（a，-2a²+a+3），知B（a，2a²+a-3），從而得AB的長=（-2a²+a+3）-（2a²+a-3）=-4a²+6，根據由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=2{x}^{2}+x-3}\\{{y}_{2}=-2{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即可知-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，從而得出答案．

解答 解：（1）二次函數y₁=2x²+x-3的″負相關函數″y₂=-2x²+x+3；

（2）∵點M（m，n）在二次函數y₁=2x²+x-3的圖象上，
∴n=2m²+m-3，
∴-2（-m）²+（-m）+3=-n，
∴點M′（-m，-n）在y₂=-2x²+x+3上；

（3）設A（a，-2a²+a+3），
∵線段AB平行于y軸，
∴B（a，2a²+a-3），
則AB的長=（-2a²+a+3）-（2a²+a-3）
=-4a²+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=2{x}^{2}+x-3}\\{{y}_{2}=-2{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴當a=0時，線段AB的長度取得最大值，最大值為6．

點評 本題主要考查二次函數的性質及新定義的理解，根據新定義得出負相關函數的解析式及表示出線段AB的解析式是解題的關鍵．