Question

【題目】已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．

（1）求證：

（2）如圖2，在延長線上，且，求證：

（3）如圖3，在（2）的條件下，，，是的中點，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7

【解析】

（1）連接AC，如圖1，根據菱形的性質得AB=BC，而∠B=60°，則可判定△ABC為等邊三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可證明△AEB≌△AFC，即可解答；

（2）過點F作FH∥AB，交CB的延長線于點H，利用平行線的性質求得△FHC是等邊三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，從而問題得解；

（3）過點B作BK∥FC，交HF于點K，根據兩組對邊分別平行求得四邊形KBAF是平行四邊形，從而求得，FK=16，過點A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性質求得MF=,，從而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．

解：（1）連接AC，如圖1，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠BAE+∠EAC=60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACP=60°，

∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，

∴∠BAE=∠CAP，

在△AEB和△APC中， ，

∴△AEB≌△APC，

∴BE=CF

∴；

（2）過點F作FH∥AB，交CB的延長線于點H

∵FH∥AB

∴∠H=∠CGH=60°

∴△FHC是等邊三角形

∴CF=CH=FH

又∵△ABC是等邊三角形

∴CA=CB

∴AF=BH

又∵FB=FE

∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC

在△HBF和△CEF中

∴△HBF≌△CEF

∴BH=EC

∴AF=EC

（3）過點B作BK∥FC，交HF于點K，

∵BK∥FC，FH∥AB

∴四邊形KBAF是平行四邊形

∴KB=AF=EC=6，

∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16

過點A作AM⊥FH

由（2）可知，∠CFH=60°

∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°

∴MF=,

∴KM=16-3=13

在Rt△AKM中，

∴AO=7．