Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線．

實驗與探究：

（1）由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（﹣2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：B′　　　　　　、C′　　　　　　；

歸納與發現：

（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為　　　　　　（不必證明）；

運用與拓廣：

（3）已知兩點D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），試在直線l上確定一點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標．

Answer 1

 

【考點】一次函數綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】易找到點B關于第一、三象限角平分線的對稱點B′的坐標為（3，5），再結合已知的點A的坐標，我們不難猜想點C′坐標是（5，﹣2），然后找到點C′，可以發現CC′被第一、三象限角平分線垂直且平分，由此可以推想到坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a），即它們縱、橫坐標互換位置．

【解答】解：（1）如圖：B′（3，5），C′（5，﹣2）；

 

（2）（b，a）；

 

（3）由（2）得，D（1，﹣3）關于直線l的對稱點D′的坐標為（﹣3，1），連接D′E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小．

設過D′（﹣3，1）、E（﹣1，﹣4）直線的解析式為y=kx+b，

則

∴

∴直線D′E的解析式為：y=﹣x﹣

由

得

∴所求Q點的坐標為（，）．

【點評】本題的解答經歷了實驗﹣﹣猜想﹣﹣驗證﹣﹣推廣的思維過程，這也是我們認識事物規律的一般方法，主要考查一次函數的性質和圖象，中等難度．