Question

19．已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，點A的坐標為（-1，0），點 C的坐標為 （0，3），對稱軸是x=1．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）過頂點M和點C的直線y=kx+g與x軸交于點D，求點D的坐標；
（3）在二次函數的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構成一個平行四邊形？若存在，寫出點N的坐標；否則寫出理由．

Answer 1

分析 （1）根據對稱軸和A的坐標求得B的坐標，然后根據勾股定理即可求得拋物線的解析式；
（2）根據二次函數的解析式求得頂點M的坐標，根據待定系數法求得直線的解析式，然后令y=0，即可求得D點的坐標；
（3）求得C點的對稱點N的坐標，然后得到CN∥AD，且CN=AD，即可證得四邊形ADCN是平行四邊形，即可得出在二次函數的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構成一個平行四邊形．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（-1，0），對稱軸是x=1．
∴拋物線與x軸的另一個交點B（3，0），
設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵點 C（0，3）在拋物線上，
∴3=-3a，
解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∴這個二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
∵C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+g=4}\\{g=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{g=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=kx+g的解析式為y=x+3，
令y=0，求得x=-3，
∴D（-3，0）；
（3）存在，
如圖，把y=3代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點C的對稱點N的坐標為（2，3），
∵CN=2，AD=3-1=2，
∴CN=AD，
∵CN∥x軸，
∴CN∥AD，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴在二次函數的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構成一個平行四邊形，此時N（2，3）．

點評 本題主要考查了二次函數的交點式、拋物線的對稱性、平行四邊形的判定與性質，解一元二次方程等知識點，熟練掌握待定系數法求函數的解析式以及數形結合思想的運用是解答此題的關鍵．