Question

如圖，為線段上一動點，分別過點作，，連接．已知，，，設．

（1）用含的代數式表示的長；
（2）請問點滿足什么條件時，的值最小？
（3）根據（2）中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值．

Answer 1

（1）；（2）三點共線時；（3）13

試題分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；
（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值．
（1）；
（2）當三點共線時，的值最小．
（3）如下圖所示，作，過點作，過點作，使，．連結交于點，的長即為代數式的最小值．

過點作交的延長線于點，得矩形，
則，12．
所以，即的最小值為13．
點評：本題利用了數形結合的思想，求形如的式子的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．