Question

18．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E，F分別在AB，BC上，將△BEF沿EF折疊，點B落在AD上的點G處，EG⊥AC．
（1）∠BEF=75°，∠BFG=90°．
（2）若AB=6$\sqrt{2}$，求FG的長．

Answer 1

分析 （1）根據翻折的性質得出∠BEF=∠GEF，∠BFE=∠GFE，再利用三角形內角和解答即可；
（2）首先證明△ABC，△ADC都是等邊三角形，再證明FG是菱形的高，根據2•S_△ABC=BC•FG即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等邊三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∵將△BEF沿EF折疊，
∴∠BEF=∠GEF=$\frac{1}{2}（180°-30°）=75°$，
∴∠BFE=∠GFE=180°-60°-75°=45°，
∴∠BFG=90°，
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，
∴△ABC，△ACD是等邊三角形，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠AGE=30°，
∵∠B=∠EGF=60°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥BC，
∴2•S_△ABC=BC•FG，
∴2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（6$\sqrt{2}$）²=6$\sqrt{2}$•FG，
∴FG=3$\sqrt{6}$，
故答案為：75°；90°．

點評 本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、翻折變換、菱形的面積等知識，關鍵是記住菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半．