Question

如圖，以A（0，）為圓心的圓與x軸相切于坐標原點O，與y軸相交于點B，弦BD的延長線交x軸的負半軸于點E，且∠BEO=60°，AD的延長線交x軸于點C．
（1）分別求點E、C的坐標；
（2）求經過A、C兩點，且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數解析式；
（3）設拋物線的對稱軸與AC的交點為M，試判斷以M點為圓心，ME為半徑的圓與⊙A的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△EOB中EO===2，
∴點E的坐標為（-2，0），
在Rt△COA中，OC=OA•tan∠CAO=OA•tan60°=×=3，
∴點C的坐標為（-3，0）．

（2）∵點C關于對稱軸x=-2對稱的點的坐標為（-1，0），
點C與點（-1，0）都在拋物線上，
設y=a（x+1）（x+3），把A（0，）代入得，
=a（0+1）（0+3），
∴a=，
∴y=（x+1）（x+3）
即y=x²+x+．

（3）⊙M與⊙A外切，
證明如下：∵ME∥y軸，
∴∠MED=∠B，
∵∠B=∠BDA=∠MDE，
∴∠MED=∠MDE，
∴ME=MD，
∵MA=MD+AD=ME+AD，
∴⊙M與⊙A外切．
分析：（1）已知了A點的坐標，即可得出圓的半徑和直徑，可在直角三角形BOE中，根據∠BEO和OB的長求出OE的長進而可求出E點的坐標，同理可在直角三角形OAC中求出C點的坐標．
（2）已知了對稱軸的解析式，可據此求出C點關于對稱軸對稱的點的坐標，然后根據此點坐標以及C，A的坐標用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（3）兩圓應該外切，由于直線DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，將相等的角進行置換后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此兩圓的圓心距AM=ME+AD即兩圓的半徑和，因此兩圓外切．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、切線的性質、圓與圓的位置關系等知識點．