Question

如圖，以Rt△BCF的斜邊BC為直徑作⊙O，A為

BF

上一點，且

AB

=

AF

，AD⊥BC，垂足為D，過A作AE∥BF交CB的延長線于E．
求證：
（1）AE是⊙O切線；
（2）

BD

CD

=

BE

EC

；
（3）若⊙O直徑為d，則

1

CD

+

1

EC

=

2

d

．

Answer 1

分析：（1）要證AE是⊙O切線，只要證明AE⊥OA即可；
（2）根據已知利用相似三角形的判定，再根據相似比之間的轉化從而得到結論；
（3）根據相似三角形的邊對應成比例即可證得結論．

解答：證明：（1）連接AB，OA，
∵弧AB=弧AF，OA是⊙O的半徑，
∴OA⊥BF．
∵AE∥EF，
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半徑，
∴AE是⊙O切線．

（2）∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴△ABD∽△ABC，△ACD∽△ABC．
∴AB²=BD•BC，AC²=CD•BC，
∴

AB2

AC2

=

BD

CD

①
∵AE是⊙O切線；
∴∠EAB=∠ECA．
∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△AEC．
∴

AB

AC

=

AE

EC

，
∴

AB2

AC2

=

AE2

EC2

②
∵AE是⊙O切線．
∴AE²=BE•EC③
由①②③得，

BD

CD

=

BE

EC

；

（3）∵⊙O直徑為d
∴

d-CD

CD

=

EC-d

EC

，
∴

d

CD

+

d

EC

=2，
∴

1

CD

+

1

EC

=

2

d

．

點評：此題考查了圓的切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及比例式的變形等知識．