Question

（2012•張家港市模擬）如圖，以矩形OABC的頂點O為坐標原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，點F在BC上，CF=1，點M、N分別是x軸、y軸上的動點，則四邊形MEFN周長的最小值為

5+

5

．

Answer 1

分析：由于四邊形MEFN中，EF的長度為定值，欲求四邊形MEFN周長的最小值，即求其它三邊之和的最小值，為此，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則線段E′F′的長度就是其它三邊之和的最小值．

解答：解：如圖，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∵矩形OABC中，OA=3，OC=2，點E是AB的中點，點F在BC上，CF=1，
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′，
∴BF′=4，BE′=3，
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

BE′2+BF′2

=5，
又∵EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

．
此時四邊形MNFE的周長的最小值是5+

5

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，矩形的性質，坐標與圖形的性質，難度中等，求線段的和最小的問題基本的解題思路是根據軸對稱轉化為兩點之間的距離的問題．