Question

（2012•張家港市模擬）在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，AD⊥BD，點M是AB邊上的一個動點，ME平分∠DMB，與BD、CD分別交于點E、F．

（1）當AM=DM時，證明四邊形AMFD是平行四邊形；（如圖1）
（2）當DM⊥AB時，則ME：EF的值為

4：3

；（如圖2）
（3）當AM為何值時，△DME∽△DBM？（如圖3）

Answer 1

分析：（1）首先利用等邊對等角和三角形的外角的性質即可證得∠2=∠3，則AD∥MF，則根據平行四邊形的定義即可證得；
（2）首先利用攝影定理求得AM的長，當DM⊥AB時，在直角△ADM中利用勾股定理求得DM的長，則BM即可求得，然后根據△DEF∽△BEM，相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（3）當△DME∽△DBM時，易證△EBM是等腰三角形，過E作EH⊥MB于H，則H是BM的中點，根據平行線分線段成比例定理即可求得ED的長，則BH的長度可以求得，進而根據AM=AB-2BH即可求解．

解答：證明：（1）∵AM=DM，
∴∠1=∠2，
又∵ME平分∠DMB，
∴∠3=∠4，
又∵∠DMB=∠1+∠2，
∴∠2=∠3，
∴AD∥MF，
又∵AM∥FD，
∴四邊形AMFD是平行四邊形；
（2）∵在直角△ADM中，DM⊥AB，
∴AD²=AB•AM，
∴AM=

AD2

AB

=

36

10

=3.6cm，
∴MB=AB-AM=10-3.6=6.4cm，
∴DM=

AD2-AM2

=

62-3.62

=4.8cm，
∵ME平分∠DMB，即∠DME=∠BME，
又∵AB∥CD，
∴∠BME=∠DFM
∴∠DME=∠DFM
∴DF=DM=4.8cm，
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BEM，
∴ME：EF=MB：DF=6.4：4.8=4：3；
故答案是：4：3．
（3）∵△DME∽△DBM
∴

DM

DB

=

ME

BM

=

ED

MD

，且∠3=∠5，
又∠3=∠4，
∴∠4=∠5，
∴EM=EB，過E作EH⊥MB于H，則H為MB的中點，
∴

ME

BM

=

EB

BM

=

EB

2BH

，
又

EB

BH

=

AB

BD

=

5

4

∴

ME

BM

=

5

8

，
∵DB=8，
∴

DM

8

=

5

8

，則DM=5，
把DM=5代入

DM

DB

=

ED

MD

得：

5

8

=

ED

5

，
∴ED=

25

8

，
∴EB=8-

25

8

=

39

8

，
∴BH=EB•cosB=

39

8

×

4

5

=

39

10

，
∴AM=AB-2BH=10-2×

39

10

=

11

5

．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，正確求得DM的長度是關鍵．