Question

如圖，在平面直角坐標中，點O為坐標原點，直線y=﹣x+4與x軸交于點A，過點A的拋物線y=ax²+bx與直線y=﹣x+4交于另一點B，且點B的橫坐標為1．

（1）求a，b的值；

（2）點P是線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OB交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，過點P作PF⊥MC于點F，設PF的長為t，MN的長為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，當S_△ACN=S_△PMN時，連接ON，點Q在線段BP上，過點Q作QR∥MN交ON于點R，連接MQ、BR，當∠MQR﹣∠BRN=45°時，求點R的坐標．

Answer 1

       解：（1）∵y=﹣x+4與x軸交于點A，

∴A（4，0），

∵點B的橫坐標為1，且直線y=﹣x+4經過點B，

∴B（1，3），

∵拋物線y=ax²+bx經過A（4，0），B（1，3），

∴，

解得：，

∴a=﹣1，b=4；

（2）如圖，作BD⊥x軸于點D，延長MP交x軸于點E，

∵B（1，3），A（4，0），

∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，

∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x軸，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，

∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，

∴tan∠BOD=tan∠MPF，

∴==3，

∴MF=3PF=3t，

∵MN=MF+FN，

∴d=3t+t=4t；

（3）如備用圖，由（2）知，PF=t，MN=4t，

∴S_△PMN=MN×PF=×4t×t=2t²，

∵∠CAN=∠ANC，

∴CN=AC，

∴S_△ACN=AC²，

∵S_△ACN=S_△PMN，

∴AC²=2t²，

∴AC=2t，∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，

∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，

∴M（4﹣2t，6t），

由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x²+4x，

將M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x²+4x得：

﹣（4﹣2t）²+4（4﹣2t）=6t，

解得：t₁=0（舍），t₂=，

∴PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=，PN=，PM=，AN=，

∵AB=3，

∴BN=2，

作NH⊥RQ于點H，

∵QR∥MN，

∴∠MNH=∠RHN=90°，

∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，

∴NH∥OC，

∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，

∴==，

設RH=n，則HN=3n，

∴RN=n，QN=3n，

∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，

∵ON==，

OB==，

∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM∥OB，

∴∠OBN=∠MPB，

∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，

∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，

∴=，

∴=，

解得：n=，

∴R的橫坐標為：3﹣=，R的縱坐標為：1﹣=，

∴R（，）．