Question

12．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E，F分別是邊AD，BC上的點，將正方形紙片沿EF折疊，使得點A落在CD邊上的點A′處，此時點落在點B′處．已知折痕EF=13，則AE的長等于$\frac{169}{24}$．

Answer 1

分析 過點F作FG⊥AD，垂足為G，連接AA′，在△GEF中，由勾股定理可求得EG=5，軸對稱的性質可知AA′⊥EF，由同角的余角相等可證明∠EAH=∠GFE，從而可證明△ADA′≌△FGE，故此可知GE=DA′=5，最后在△EDA′利用勾股定理列方程求解即可．

解答 解：過點F作FG⊥AD，垂足為G，連接AA′．

在Rt△EFG中，EG=$\sqrt{E{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．
∵軸對稱的性質可知AA′⊥EF，
∴∠EAH+∠AEH=90°．
∵FG⊥AD，
∴∠GEF+∠EFG=90°．
∴∠DAA′=∠GFE．
在△GEF和△DA′A中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠D=90°}\\{FG=AD}\\{∠DAA′=∠GFE}\end{array}\right.$，
∴△GEF≌△DA′A．
∴DA′=EG=5．
設AE=x，由翻折的性質可知EA′=x，則DE=12-x．
在Rt△EDA′中，由勾股定理得：EA′²=DE²+A′D²，即x²=（12-x）²+5²．
解得：x=$\frac{169}{24}$．
故答案為：$\frac{169}{24}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、勾股定理的應用、全等三角形的性質和判定，證得△GEF≌△DA′A從而求得A′D=5是解題的關鍵．