Question

16．計算：$\frac{\sqrt{{2}^{2}-1}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{{3}^{2}-1}}{3-1}$=$\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{{4}^{2}-1}}{4-1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
$\frac{\sqrt{{5}^{2}-1}}{5-1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，…，
觀察以上計算結果的變化規律，由此判斷P=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n-1}$與Q=$\frac{\sqrt{（n+1）^{2}-1}}{（n+1）-1}$的大小關系是＞．（n為大于1的整數）

Answer 1

分析 先化簡各二次根式，然后找出其中的規律，最后依據規律找出其中的答案即可．

解答 解：$\frac{\sqrt{{2}^{2}-1}}{2-1}$=$\sqrt{3}$，
$\frac{\sqrt{{3}^{2}-1}}{3-1}$=$\frac{\sqrt{9-1}}{2}$=$\frac{\sqrt{8}}{2}$=$\sqrt{2}$，
$\frac{\sqrt{{4}^{2}-1}}{4-1}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
$\frac{\sqrt{{5}^{2}-1}}{5-1}$=$\frac{\sqrt{24}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
P=$\sqrt{\frac{{n}^{2}-1}{（n-1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$，Q=$\sqrt{\frac{（n+1）^{2}-1}{{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$．
$\frac{n+1}{n-1}-\frac{n+2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n-（{n}^{2}+n-2）}{n（n-1）}$=$\frac{2}{n（n-1）}$＞0，
則$\frac{n+1}{n-1}＞\frac{n+2}{n}$．
則$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$＞$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$，即P＞Q．
故答案為；$\sqrt{\sqrt{3}}$；$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{15}}{3}$；$\frac{\sqrt{6}}{2}$；＞．

點評 本題主要考查的是二次根式的化簡與計算，比較出$\sqrt{\frac{n+1}{n-1}}$與$\sqrt{\frac{n+2}{n}}$的大小是解題的關鍵．