Question

7．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0）、B（0，b）、C（-a，0），且$\sqrt{a-2}$+b²-4b+4=0
（1）求證：∠ABC=90°；
（2）作∠ABO的平分線交x軸于一點D，求D點的坐標；
（3）如圖2所示，A、B兩點在x軸、y軸上的位置不變，在線段AB上有兩動點M、N，滿足∠MON=45°，下列結論：①BM+AN=MN；②BM²+AN²=MN²，其中有且只有一個結論成立．請你判斷哪一個結論成立，并證明成立的結論．

Answer 1

分析 （1）根據非負數的性質求出a、b的值，根據直角三角形的判定定理證明；
（2）過D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分線，根據角平分線的性質知DO=DE，即可證得OD=DE，根據三角形的面積公式計算即可；
（3）作OE⊥OM，且使得OE=OM，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可證得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通過證△MON≌△EON，來得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根據勾股定理即可證得（2）的結論是正確的．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-2}$+b²-4b+4=0，
∴$\sqrt{a-2}$+（b-2）²=0，
則a=2，b=2，
∴OA=OB=OC，
∴∠ABC=90°；
（2）過點D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABO，
∴OD=DE，
設OD=x，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{1}{2}$×2×x+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×x，
解得，x=2$\sqrt{2}$-2，
∴D（2$\sqrt{2}$-2，0）；
（3）結論②是對的，
證明：過點O作OE⊥OM，并使OE=0M，連接AE、NE，
∵∠AOB=90°，∠MOE=90°，
∴∠MOB=∠AOE，
在△MOB和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠MOB=∠EOA}\\{OM=OE}\end{array}\right.$，
∴△MOB≌△EOA，
∴BM=AE，∠OBM=∠OAE，
∴∠NAE=90°，
∴AE²+AN²=EN²，
在△MON和△EON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OM}\\{∠MON=∠EON}\\{ON=ON}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△EON，
∴MN=NE，
∴BM²+AN²=MN²，即結論②正確．

點評 此題主要考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識的綜合應用；能夠正確的構造全等三角形是解決此題的關鍵．