Question

12．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知$AE=\sqrt{2}c$，這時我們把關于x的形如$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．若x=-1是“勾系一元二次方程”$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一個根，且四邊形ACDE的周長是$6\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值，根據完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．

解答 解：當x=-1時，有a-$\sqrt{2}$c+b=0，即a+b=$\sqrt{2}$c
∵2a+2b+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，即2（a+b）+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴3$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴c=2，
∴a²+b²=c²=4，a+b=2$\sqrt{2}$，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab，
∴ab=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=1．

點評 此類考查了勾股定理的證明，讀懂題意，根據題目中所給的材料結合勾股定理和根的判別式解題是解答此題的關鍵．