Question

3．問(wèn)題情境：已知Rt△ABC的周長(zhǎng)為30，斜邊長(zhǎng)c=13，求△ABC的面積．、
解法展示：設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則a+b+c=30，因?yàn)閏=13，所以a+b=17，所以（a+b）²=289，所以a²+b²+2ab=289．因?yàn)閍²+b²=c²，所以c²+2ab=289，所以169+2ab=289，所以ab=60（第1步），所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×60=30（第2步）．
合作探究：
（1）填空．
（2）上述解題過(guò)程中，由第1步到第2步體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想是①（填序號(hào)）．
①整體思想；②數(shù)形結(jié)合思想；③分類討論思想．
方法遷移：
（3）已知一直角三角形的面積為24，斜邊長(zhǎng)為10，求這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)定義，勾股定理，三角形的面積公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的解答過(guò)程得到由第1步到第2步體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想；
（3）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b（a＜b，且a、b均為正數(shù)）．利用勾股定理和三角形的面積公式求得兩直角邊是6和8．然后由三角形的周長(zhǎng)公式求得該直角三角形的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）解法展示：設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，則a+b+c=30，因?yàn)閏=13，所以a+b=17，所以（a+b）²=289，所以a²+b²+2ab=289．因?yàn)閍²+b²=c²，所以c²+2ab=289，所以169+2ab=289，所以ab=60（第1步），所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×60=30（第2步）．
合作探究：
（2）上述解題過(guò)程中，由第1步到第2步體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想是①．
方法遷移：
（3）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別是a、b（a＜b，且a、b均為正數(shù)），則
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=1{0}^{2}}\\{\frac{1}{2}ab=24}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=8}\end{array}\right.$．
所以這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是：6+8+10=24．
故答案為：30，17，289，b²+2ab，169，60，60，30；①．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了利用三角形的面積公式尋找相等關(guān)系，同時(shí)也考查了勾股定理的內(nèi)容．找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．