Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）當點Q在BC上運動時，若△PBQ與△ABC相似，求時間t的值；
（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，△PBQ與△ABC是否相似，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；
（2）若△PBQ與△ABC相似，①如圖1，∠PQB=∠C=90°，得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，解$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，得到t=$\frac{30}{13}$，②如圖2，∠QPB=∠C=90°，由$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，得到方程$\frac{10-t}{6}=\frac{2t}{10}$，t=$\frac{50}{11}$＞3，于是得到結論；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對應邊成比例，求得△PBQ各邊的長，根據相似三角形的判定，即可得以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．

解答 解：（1）設AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）若△PBQ與△ABC相似，
由已知條件得：AP=t，BQ=2t，
∴PB=10-t，
①如圖1，∠PQB=∠C=90°，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{10-t}{10}=\frac{2t}{6}$，
解得：t=$\frac{30}{13}$；
②如圖2，∠QPB=∠C=90°，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{10-t}{6}=\frac{2t}{10}$，
解得：t=$\frac{50}{11}$＞3．
綜上所述：當t=$\frac{30}{13}$時，△PBQ與△ABC相似；

（3）如圖3，當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}=\frac{PQ}{BC}$，
即：$\frac{x}{8}=\frac{14-2x}{10}=\frac{PQ}{6}$，
解得：x=$\frac{56}{13}$，PQ=$\frac{42}{13}$，
∴PB=10-x=$\frac{74}{13}$，
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{\frac{42}{13}}{\frac{74}{13}}$=$\frac{21}{37}$≠$\frac{BC}{AC}$，
∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC不相似．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用