Question

7．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=$\sqrt{3}$，AC=1，在△ABC內依次作等邊三角形，使一邊在AB上，另一個頂點在BC邊上，依次作出的等邊三角形分別是第1個為△AA₁B₁，第2個為△B₁A₂B₂，第3個△B₂A₃B₃，…，則第2017個等邊三角形的邊長為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2018}}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2016}}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2015}}$

Answer 1

分析 根據題目已知條件可推出，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$，從而求解．

解答 解：∵AB=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴BC=2，
∴∠ABC=30°，∠ACB=60°．
而△AA₁B₁為等邊三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠CAA₁=30°，則∠CA₁A=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理得：B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
依此類推，第n個等邊三角形的邊長等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$，
則第2017個等邊三角形的邊長為$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2017}}$．
故選：B．

點評 本題主要考查勾股定理、等邊三角形的性質及解直角三角形，關鍵是歸納出邊長的規律．