Question

5．實(shí)驗(yàn)室里，水平桌面上有甲、乙兩個(gè)圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2，用一個(gè)管子在甲、乙兩個(gè)容器的15厘米高度處連通（即管子底端離容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如圖所示．現(xiàn)同時(shí)向甲、乙兩個(gè)容器注水，平均每分鐘注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．開始注水1分鐘，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均為正整數(shù)，當(dāng)甲、乙兩個(gè)容器的水位都到達(dá)連通管子的位置時(shí)，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，設(shè)注水時(shí)間為t分鐘．
（1）求k的值（用含a的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米時(shí)，求t的值．
（3）當(dāng)甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米時(shí)，求a，k，t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“開始注水1分鐘，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米”，即可得出a、k之間的關(guān)系式，變形后即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩容器水位間的關(guān)系列出a、k、t的代數(shù)式，將（1）的結(jié)論代入其內(nèi)整理后即可得出結(jié)論；
（3）由（1）中的k=4-$\frac{4}{a}$結(jié)合a、k均為正整數(shù)即可得出a、k的值，經(jīng)檢驗(yàn)后可得出a、k值合適，再將乙容器內(nèi)水位上升的高度轉(zhuǎn)換成甲容器內(nèi)水位上升的高度結(jié)合水位上升的總高度=單位時(shí)間水位上升的高度×注水時(shí)間即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：a+1=2+$\frac{ak}{4}$，
解得；k=4-$\frac{4}{a}$．
（2）根據(jù)題意得：at=1+2+$\frac{akt}{4}$，
∵k=4-$\frac{4}{a}$，
∴at=3+$\frac{at}{4}$（4-$\frac{4}{a}$）=3+at-t，
∴t=3．
（3）∵k=4-$\frac{4}{a}$，且a、k均為正整數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$．
∵a＜$\frac{15}{3}$=5，k＜4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$符合題意．
①當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{k=2}\end{array}\right.$時(shí)，15+（14-2）×4=at+akt=2t+4t，
解得：t=$\frac{21}{2}$；
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{k=3}\end{array}\right.$時(shí)，15+（14-2）×4=at+akt=4t+12t，
解得：t=$\frac{63}{16}$．
綜上所述：a、k、t的值為2、2、$\frac{21}{2}$或4、3、$\frac{63}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，根據(jù)兩容器半徑及注水量的關(guān)系列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．