Question

8．已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．且△OCP與△PDA的面積比為1：4
（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA．
①求證：△OCP∽△PDA； 
②求邊AB的長；
（2）如圖2，連結AP、BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

分析 （1）①只要證明∠PAD=∠CPO，由∠D=∠C=90°，即可證出△OCP∽△PDA；
②根據△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=$\frac{1}{2}$AD=4，設OP=x，則CO=8-x，由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，求出x，最后根據AB=2OP即可求出邊AB的長；
（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，
再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的結論求出PB，即可判斷．

解答 解：（1）①如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠DPA+∠DAP=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠DPA+∠CPO=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
②如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴$\frac{OP}{PA}$=$\frac{CP}{DA}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$AD=4，
設OP=x，則CO=8-x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x²=（8-x）²+4²，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊AB的長為10；

（2）結論：線段EF的長度不發生變化．EF=2$\sqrt{5}$．
理由：如圖2中，作MQ∥AN，交PB于點Q，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=FB，
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4 $\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2 $\sqrt{5}$，
∴當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2 $\sqrt{5}$．

點評 此題考查了相似形綜合題、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質，解題的關鍵是關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，