Question

9．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發，沿著A→B的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0≤t＜4），連接DE，當以B、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，t的值為（　　）

• A． 2
• B． 2.5或3.5
• C． 2或3.5
• D． 2或2.5

Answer 1

分析 求出AB=2BC=4cm，分兩種情況：①當∠EDB=∠ACB=90°時，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2cm，即可得出t=2s；②當∠DEB=∠ACB=90°時，證出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出結果．

解答 解：∵，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分兩種情況：
①當∠EDB=∠ACB=90°時，
DE∥AC，△EBD∽△ABC，
∵D為BC的中點，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=1cm，E為AB的中點，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
∴t=2s；
②當∠DEB=∠ACB=90°時，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
綜上所述：當以B、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，t的值為2或3.5；
故選：C．

點評 本題考查了相似三角形的判定、平行線的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識；熟記相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵，注意分類討論．