Question

20．若S=1+$\sqrt{1+\frac{4}{{1}^{2}}+{\frac{4}{{3}^{2}}}^{\;}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{4}{{4}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{3}^{2}}+\frac{4}{{5}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{4}^{2}}+\frac{4}{{6}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{4}{1{0}^{2}}+\frac{4}{1{2}^{2}}}$，試求S的值．

Answer 1

分析 由$\sqrt{1+\frac{4}{{n}^{2}}+\frac{4}{（n+2）^{2}}}$=1+$\frac{4}{n（n+2）}$=1+2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），然后把值代入S求和可得答案．

解答 解：$\sqrt{1+\frac{4}{{n}^{2}}+\frac{4}{（n+2）^{2}}}$，
=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+2）^{2}+4（n+2）^{2}+4{n}^{2}}{{n}^{2}（n+2）^{2}}}$，
=$\frac{1}{n（n+2）}$$\sqrt{{n}^{4}+4{n}^{3}+12{n}^{2}+16n+16}$，
=$\frac{1}{n（n+2）}$$\sqrt{[（n+1）^{2}+3]^{2}}$，
=$\frac{1}{n（n+2）}$$\sqrt{（{n}^{2}+2n+4）^{2}}$，
=$\frac{{n}^{2}+2n+4}{n（n+2）}$，
=1+$\frac{4}{n（n+2）}$，
=1+2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
∴S=1+$\sqrt{1+\frac{4}{{1}^{2}}+{\frac{4}{{3}^{2}}}^{\;}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{4}{{4}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{3}^{2}}+\frac{4}{{5}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{4}{{4}^{2}}+\frac{4}{{6}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{4}{1{0}^{2}}+\frac{4}{1{2}^{2}}}$，
=11+2（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{12}$），
=11+2×（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{12}$），
=13$\frac{43}{60}$．

點評 此題主要考查了二次根式的性質和化簡，從每一個式子中得出規律是關鍵，注意$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|的運用，正確得出結果．