Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點，直線與軸交于點與軸左側拋物線交于點，直線與軸右側拋物線交于點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點是直線上方拋物線上一動點，求面積的最大值；

(3)點是拋物線上一動點，點是拋物線對稱軸上一動點，請直接寫出以點為頂點的四邊形是平行四邊形時點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)當時，；(3)點的坐標為或.

【解析】

（1）直接利用待定系數法，即可求出解析式；

（2）先求出點C的坐標，過點作軸交直線于點，設P，則，則得到線段PQ的長度，然后利用三角形面積公式，即可求出答案；

（3）先求出直線BD，然后得到點E的坐標，由以點為頂點的四邊形是平行四邊形，設點M為（m，），則可分為三種情況進行①當CN與ME為對角線時；②當CE與MN為對角線時；③當EN與CM為對角線時；由平行四邊形對角線互相平分，即可得到m的值，然后求出點M的坐標.

解：（1）把代入中得，

解得，

拋物線的解析式為：.

（2）由

得，，

.

過點作軸交直線于點，

設，則，

，

.

當時，；

∴面積的最大值為64.

（3）∵直線與軸交于點，

∴點D的坐標為：（0，），

∵點B為（），

∴直線BD的方程為：；

聯合拋物線與直線BD，得：

，

解得：或（為點B），

∴點E的坐標為：（3，）；

∵拋物線的對稱軸為：，

∴點N的橫坐標為；

∵以點為頂點的四邊形是平行四邊形，且點C（），點E（3，），

設點M為（m，），則可分為三種情況進行

①當CN與ME為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：；

∴點M的縱坐標為：，

∴點M的坐標為：（）；

②當CE與MN為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：，

∴點M的縱坐標為：，

∴點M的坐標為：（）；

③當EN與CM為對角線時，由平行四邊形對角線互相平分，

∴，

解得：，

∴點M的縱坐標為：；

∴點M的坐標為：（）；

綜合上述，點的坐標為：或.