Question

如圖，△ABC內接于⊙O，過點B作⊙O的切線，交于CA的延長線于點E，∠EBC=2∠C．
（1）求證：AB=AC；
（2）當

AB

BC

=

5

4

時，①求tan∠ABE的值；②如果AE=

20

11

，求AC的值．

Answer 1

（1）證明：∵BE切⊙O于點B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．

（2）①如圖，連接AO，交BC于點F
∵AB=AC，∴

AB

=

AC

；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵

AB

BC

=

5

4

∴

AB

2BF

=

5

4

∴

AB

BF

=

5

2

；
設AB=

5

m，BF=2m，
由勾股定理，得AF=

AB2-BF2

=

5m2-4m2

=m；
∴tan∠ABE=tan∠ABF=

AF

BF

=

m

2m

=

1

2

．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴

EA

EB

=

AB

BC

；
∵

AB

BC

=

5

4

，
∴EB=

4

5

EA（※）；
由切割線定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC）；
將（※）式代入上式，得

16

5

EA²=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC=

11

5

EA=

11

5

×

20

11

=4．