Question

如圖所示，AB=AC，∠A=120°，點E在AB邊上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足為G，若GF=4，求CF的長．

Answer 1

【答案】分析：連接AF，由AB=AC，且∠BAC=120°，利用等邊對等角及三角形的內角和定理求出∠B與∠C的度數為30°，再由EF垂直于AB，EG垂直于BC，得到兩對角互余，利用同角的余角相等得到∠GEF的度數為30°，在直角三角形EFG中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由GF的長求出EF的長，在直角三角形EFB中，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由EF的長求出BF的長，即為AF的長，由∠BAC-∠BAF求出∠FAC為直角，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由AF的長即可求出FC的長．
解答：解：連接AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF⊥AB，EG⊥BF，
∴∠BEG+∠GEF=90°，又∠B+∠BEG=90°，
∴∠GEF=∠B=30°，
∵GF=4，
∴在Rt△GEF中，EF=2GF=8，
∴在Rt△BEF中，BF=2EF=16，
∵EF垂直平分AB，∴AF=BF=16，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=120°-30°=90°，
又∵∠C=30°，
∴FC=2AF=32．
點評：此題考查了含30°直角三角形的性質，線段垂直平分線定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．