Question

17．如圖是長度為10米，直徑為2米的水管的截面，若水管積水深度為0.5米，則水管中共積水$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$ 立方米．（保留π和根號）

Answer 1

分析 設水管的截面的圓心為O，水面為AB，連接OA，OB，過點O作OE⊥AB，交⊙O于F，則EF=0.5m，進一步求得OE=0.5m，解直角三角形求得∠OAB=30°，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOB=120°，根據垂徑定理，即可求得AB的值，然后根據S_弓形=S_扇形-S_△AOB，即可求得弓形的面積，進而求得水管中共積水的體積．

解答 解：連接OA，OB，過點O作OE⊥AB，交⊙O于F，則EF=0.5m
∵水管的直徑為2米，
∴AO=FO=1m，
∵EF=0.5m，
∴OE=0.5m，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA，
∴∠OAB=30°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∠AOB=120°，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形-S_△AOB=$\frac{120π×{1}^{2}}{360}-\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴水管中共積水：（$\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$）×10=$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$（立方米），
故答案為$\frac{10π}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}$

點評 此題主要考查了垂徑定理的應用，解直角三角形，扇形面積，此類題要構造一個由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，然后解直角三角形進行計算．