Question

15．已知y是關(guān)于x的函數(shù)，且x，y滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$
（1）求函數(shù)y與x的表達(dá)式，并在如圖所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖象；
（2）設(shè)（1）中的函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C（-1，0）作BC⊥x軸交（1）中函數(shù)圖象于點(diǎn)B，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)D，連接BD，使得△BCD與△ABC相似（不包括全等），并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)
（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），求以P為圓心，1為半徑的圓與（1）函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍
（4）（2）的條件下，如M、N分別是邊AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，設(shè)AM=DN=n，問(wèn)是否存在這樣的n，使得△AMN與△ADB相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，①×3+②得到，4x+8y=12，即y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，畫(huà)出一次函數(shù)的圖象即可．
（2）由△BCD與△ABC相似（不包括全等），推出∠ABD=90°，由△BCD∽△ACB，推出$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，求出CD可得D（-2，0），再根據(jù)對(duì)稱軸可得D′坐標(biāo)（1，0）也滿足條件．
（3）如圖3中，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，可得$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，推出AP=$\sqrt{5}$，推出OP=3-$\sqrt{5}$，此時(shí)m=3-$\sqrt{5}$，當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)F時(shí)，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此時(shí)m=3+$\sqrt{5}$，由此即可解決問(wèn)題．
（4）這樣的m存在．當(dāng)d（-2，0）時(shí)，分兩種情形討論①當(dāng)MN∥BD時(shí)，△AMN∽△ABD．②當(dāng)MN⊥AD時(shí)，△AMN∽△ADB．分別列方程即可解決問(wèn)題；當(dāng)D（-1，0）時(shí)同法可求．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=3y=4-a}&{①}\\{x-y=3a}&{②}\end{array}\right.$，
①×3+②得到，4x+8y=12，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
函數(shù)圖象如圖1所示．


（2）如圖2中，

∵△BCD與△ABC相似（不包括全等），
∴∠ABD=90°，
∵C（-1，0），B（-1，2），A（3，0），
BC=2，AC=4，
∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC+∠BAC=90°，
∴∠DBC=∠BAC，∵∠BCD=∠BCA，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{CA}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{DC}{2}$，
∴CD=1，
∴D（-2，0）．
根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)D′（1，0）時(shí)，△BCD′與△ABC相似，
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，0）或（1，0）時(shí)，△BCD與△ABC相似（不包括全等）．

（3）如圖3中，

當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，
在Rt△APE中，∵∠AEP=90°，PE=1，
由sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PE}{AP}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{AP}$，
∴AP=$\sqrt{5}$，
∴OP=3-$\sqrt{5}$，此時(shí)m=3-$\sqrt{5}$，
當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)F時(shí)，同法可得AP′=$\sqrt{5}$，此時(shí)m=3+$\sqrt{5}$，
∴以P為圓心，1為半徑的圓與（1）函數(shù)的圖象有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．

（4）這樣的m存在．如圖4中，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=2$\sqrt{5}$，
當(dāng)MN∥BD時(shí)，△AMN∽△ABD，則$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AN}{AD}$，
∴$\frac{n}{2\sqrt{5}}$=$\frac{5-n}{5}$，
解得n=10$\sqrt{5}$-20，
如圖5中，

當(dāng)MN⊥AD時(shí)，△AMN∽△ADB，
則 $\frac{AM}{AD}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{n}{5}$=$\frac{5-n}{2\sqrt{5}}$，
解得n=25-10$\sqrt{5}$，
當(dāng)D（1，0）時(shí)，同法可得n的值為$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
綜上所述，滿足條件的n的值為10$\sqrt{5}$-20或25-10$\sqrt{5}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系、二元一次方程組、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．