Question

16．如圖，在銳角三角形中，
（1）猜想$\frac{a}{sinA}$，$\frac{sinB}$，$\frac{c}{sinC}$之間的關系，并證明．
（2）猜想cosC與a，b，c之間的關系？并證明．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC、作BE⊥AC，由AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC得$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，同理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，繼而可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；
（2）由CD=ACcosC=bcosC知BD=BC-CD=a-bcosC，根據AB²-BD²=AC²-CD²得c²-（a-bcosC）²=b²-（bcosC）²，整理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．

解答 解：（1）$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
如圖，作AD⊥BC于點D，作BE⊥AC于點E，

∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD=ABsinB=ACsinC，即csinB=bsinC，
則$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
同理可得BE=csinA=asinC，即$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$；

（2）∵在Rt△ACD中，CD=ACcosC=bcosC，
∴BD=BC-CD=a-bcosC，
∵AB²-BD²=AC²-CD²，
∴c²-（a-bcosC）²=b²-（bcosC）²，
整理得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用，熟練掌握三角函數的定義與勾股定理是解題的關鍵．