Question

6．已知：Rt△ABC的直角頂點C，另一頂點A及斜邊AB的中點D都在⊙O上，BC交⊙O于E．
（1）如圖1，若AC=CE，求∠B的度數；
（2）如圖2，若AC=6，BC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，根據等腰直角三角形的性質得：∠CEA=45°，利用同弧所對的圓周角相等得：∠ADC=45°，運用外角定理得出∠B的度數；
（2）作輔助線，構建相似三角形，證明△BDE∽△BCA，列比例式求出DE的長，最后利用勾股定理求直徑AE，則半徑為$\frac{25}{8}$．

解答 解：（1）如圖1，連接AE、DC，
∵∠ECA=90°，且E、C、A三點都在⊙O上，
∴AE是⊙O的直徑，
∵EC=AC，
∴∠CEA=45°，
∵D是斜邊AB的中點，
∴BD=DC，
∴∠B=∠BCD，
∵∠ADC=∠AEC=∠B+∠BCD=45°，
∴∠B=45°÷2=22.5°；
（2）如圖2，連接DE、AE、CD，
由（1）得：AE是⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∵∠EBD=∠ABC，∠BDE=∠BCA=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
∵D是斜邊AB的中點，
∴BD=AD，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴$\frac{DE}{6}=\frac{5}{8}$，
∴DE=$\frac{15}{4}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{25}{8}$，
則⊙O的半徑為$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查了圓中的基本性質和直角三角形斜邊中線的性質，①直徑所對的圓周角是直角，反之，90°的圓周角所對的弦是直徑，②同弧所對的圓周角相等，③直角三角形斜邊中線是斜邊的一半．