Question

16．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．點D在線段PQ上，且PD=PC．
（1）求證：PQ∥AB；
（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長．

Answer 1

分析 （1）先用勾股定理求出AC，再用兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似，得出△PQC∽△BAC，從而有∠CPQ=∠B即可；
（2）先判斷出AQ=DQ，再用勾股定理AQ，最后建立方程12-4x=2x，求解方程即可．

解答 （1）證明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵$\frac{PC}{BC}=\frac{3x}{9}=\frac{x}{3}$，$\frac{QC}{AC}=\frac{4x}{12}=\frac{x}{3}$，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{QC}{AC}$
∵∠C=∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ=∠B，
∴PQ∥AB；
（2）解：如圖，

連接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ=∠DAB．
∵點D在∠BAC的平分線上，
∴∠DAQ=∠DAB，
∴∠ADQ=∠DAQ，
∴AQ=DQ．
在Rt△CPQ中，PQ=5x，
∵PD=PC=3x，
∴DQ=2x．
∵AQ=12-4x，
∴12-4x=2x，
解得x=2，
∴CP=3x=6．

點評 此題是相似三角形的性質和判定，主要考查了平行線的判定，勾股定理，角平分線的定義，解本題的關鍵是判斷出PQ∥AB．