Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且AC²=CE•CB．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）連接BF，如果點E是BC中點，求證：∠EBF=∠EAB．

Answer 1

分析 （1）先根據題意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性質得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，進而可得出∠AFC=90°；
（2）根據AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由點E是BC的中點可知CE=BE，故$\frac{BE}{EA}=\frac{EF}{BE}$，根據∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，進而可得出結論．

解答 證明：（1）∵AC²=CE•CB，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{CB}{AC}$．
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC．
∵點D是AB的中點，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD

（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴$\frac{EC}{EA}=\frac{EF}{EC}$
∵點E是BC的中點，
∴CE=BE，
∴$\frac{BE}{EA}=\frac{EF}{BE}$
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．