Question

已知兩條平行線l₁、l₂之間的距離為6，截線CD分別交l₁、l₂于C、D兩點，一直角的頂點P在線段CD上運動（點P不與點C、D重合），直角的兩邊分別交l₁、l₂與A、B兩點．

（1）操作發現

如圖1，過點P作直線l₃∥l₁，作PE⊥l₁，點E是垂足，過點B作BF⊥l₃，點F是垂足．此時，小明認為△PEA∽△PFB，你同意嗎？為什么？

（2）猜想論證

將直角∠APB從圖1的位置開始，繞點P順時針旋轉，在這一過程中，試觀察、猜想：當AE滿足什么條件時，以點P、A、B為頂點的三角形是等腰三角形？在圖2中畫出圖形，證明你的猜想．

（3）延伸探究

在（2）的條件下，當截線CD與直線l₁所夾的鈍角為150°時，設CP=x，試探究：是否存在實數x，使△PAB的邊AB的長為4？請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖（1），由題意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，

∴∠EPA=∠FPB，

又∵∠PEA=∠PFB=90°，

∴△PEA∽△PFB；

（2）證明：如圖2，∵∠APB=90°，

∴要使△PAB為等腰三角形，只能是PA=PB，

當AE=BF時，PA=PB，

∵∠EPA=∠FPB，∠PEA=∠PFB=90°，AE=BF，

∴△PEA≌△PFB，

∴PA=PB；

（3）如圖2，在Rt△PEC中，CP=x，∠PCE=30°，

∴PE=x，

由題意，PE+BF=6，BF=AE，

∴AE=6﹣x，

當AB=4時，由題意得PA=2，

Rt△PEA中，PE²+AE²=PA²，

即（）²+（6﹣x）²=40，

整理得：x²﹣12x﹣8=0，

解得：x=6﹣2＜0（舍去）或x=6+2，

∵x=6+2＞6+6=12，又CD=12，

∴點P在CD的延長線上，這與點P在線段CD上運動相矛盾，

∴不合題意，

綜上，不存在滿足條件的實數x．