Question

16．閱讀下列材料：
問題：如圖所示，在正方形ABCD和?BEFG中，點A，B，E在同一直線上，P是線段DF中點，連接PG，PC．
探究：當PG與PC的夾角為90°時，平行四邊形BEFG是正方形．
小聰同學的思路是：首先可以證明四邊形BEFG是矩形，然后延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理可以探索出問題答案．
請你參考小聰同學的思路，探究并解決這個問題．
（1）求證：四邊形BEFG是矩形；
（2）求證：PG與PC的夾角為90°時，四邊形BEFG是正方形．

Answer 1

分析 （1）先有正方形ABCD得出∠EBG=90°，即可得出結論；
（2）先由正方形得出∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，從而判斷出△DHP≌△FGP，再由正方形的性質即可

解答 證明：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠EBG=90°，
∵四邊形BEFG是平行四邊形，
∴平行四邊形BEFG是矩形，
（2）如圖，

延長GP交DC于點H，
∵在正方形ABCD和?BEFG中，
∴AB∥DC，RE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，
∵點P是線段DF中點，
∴DP=FP，
∴△DHP≌△FGP，
∴DH=FG，HP=GP，
∵∠CPG=90°，
∴CH=CG，
在正方形ABCD中，DC=BC，
∴DH=BG，
∴BG=GF，
由（1）知，四邊形BEFG是矩形，
∴四邊形BEFG是正方形．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了矩形的判定，正方形的性質和判定和平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，解本題的關鍵是判斷出△DHP≌△FGP．