Question

2．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB=∠AEC．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）求證：CE²=EH•EA．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線；
（2）連接AC，由垂徑定理得出$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例$\frac{CE}{EH}$=$\frac{EA}{CE}$，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，如圖所示：
∵OF⊥BC，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴$\frac{CE}{EH}$=$\frac{EA}{CE}$，
∴CE²=EH•EA．

點評 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質等知識，正確得出△CEH∽△AEC是解題關鍵．