Question

10．如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點，F是AD的一個三等分點，設BC的延長線與FE的延長線相交于G．問BF是否平分∠AFG？請說明理由．

Answer 1

分析 結論：BF平分∠AFG作FH⊥BC于H，則四邊形CDFH是矩形，HF=CD，DF=CH，設正方形的邊長為6a．通過計算證明GF=GB即可解決問題．

解答 解：結論：BF平分∠AFG．
理由：如圖，作FH⊥BC于H，則四邊形CDFH是矩形，HF=CD，DF=CH，設正方形的邊長為6a．

∵F是AD的一個三等分點，
∴AF=2a，DF=HC=4a，FH=CD=6a，
在△DFE和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠GCE}\\{DE=EC}\\{∠DEF=∠CEG}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△CGE，
∴CG=DF=4a，
∴GH=8a，
在Rt△FHG中，FG=$\sqrt{F{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{（6a）^{2}+（8a）^{2}}$=10a，
∵BG=10a，
∴GF=GB=10a，
∴∠GFB=∠GBF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠GBF，
∴∠BFA=∠BFG，
∴BF平分∠AFG．

點評 本題考查正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、平行線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，本題體現了數形結合的思想，屬于中考常考題型．