Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，DA⊥AB，DO及DO的延長(zhǎng)線與⊙O分別相交于點(diǎn)E、F，EB與CF相交于點(diǎn)G．
（1）求證：DA=DC；
（2）⊙O的半徑為3，AC=$\frac{24}{5}$，求GC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直徑，AB⊥DA，可得AD是⊙O的切線，又由DC是⊙O切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可求得答案；
（2）由勾股定理求出EG、CF、BC長(zhǎng)，根據(jù)△BGC∽△FGE求出$\frac{CG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\frac{18}{5}}{6}$=$\frac{3}{5}$，則CG=$\frac{3}{8}$CF；利用勾股定理求出CF的長(zhǎng)，則CG的長(zhǎng)度可求得．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DA，
∴AD是⊙O的切線，
∵DC是⊙O切線，
∴DA=DC．
（2）解：由切線長(zhǎng)定理得：DO垂直平方AC，
∵AC=$\frac{24}{5}$，
∴AM=$\frac{12}{5}$，
在RT△MAO中，OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴EM=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
在RT△EMC中，CE=$\sqrt{C{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∵EF是直徑，
∴∠ECF=90°，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圓周角定理）
∴△BGC∽△FGE，
∴$\frac{CG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$=$\frac{\frac{18}{5}}{6}$=$\frac{3}{5}$，
∵CF=CG+GF，$\frac{CG}{EG}$=$\frac{3}{5}$，
∴CG=$\frac{3}{8}$CF=$\frac{3}{8}$×$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{9}{10}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．