Question

11．若拋物線L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，且abc≠0）與直線l都經過y軸上的同一點，且拋物線L的頂點在直線l上，則稱此拋物線L與直線l具有“一帶一路”關系，并且將直線l叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”．
（1）若“路線”l的表達式為y=2x-4，它的“帶線”L的頂點在反比例函數y=$\frac{6}{x}$（x＜0）的圖象上，求“帶線”L的表達式；
（2）如果拋物線y=mx²-2mx+m-1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關系，求m，n的值；
（3）設（2）中的“帶線”L與它的“路線”l在 y軸上的交點為A．已知點P為“帶線”L上的點，當以點P為圓心的圓與“路線”l相切于點A時，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）找出直線與反比例函數圖象的交點坐標，由此設出拋物線的解析式，再由直線的解析式找出直線與x軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出結論；
（2）找出直線y=nx+1與y軸的交點坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出m的值；再根據拋物線的解析式找出頂點坐標，將其代入直線解析式中即可得出結論；
（3）設拋物線的頂點為B，則點B坐標為（1，-1），過點B作BC⊥y軸于點C，根據點A 坐標為（0，1）得到AO=1，BC=1，AC=2．然后根據“路線”l是經過點A、B的直線且⊙P與“路線”l相切于點A，連接PA交 x軸于點D，則PA⊥AB，然后求解交點坐標即可．

解答 解：（1）∵“帶線”L的頂點在反比例函數$y=\frac{6}{x}$（x＜0）的圖象上，
且它的“路線”l的表達式為y=2x-4，
∴直線y=2x-4與$y=\frac{6}{x}$的交點為“帶線”L的頂點，
令$2x-4=\frac{6}{x}$，解得x₁=-1，x₂=3（舍去）         
∴“帶線”L的頂點坐標為（-1，-6）．
設L的表達式為y=a（x+1）²-6，
∵“路線”y=2x-4與y軸的交點坐標為（0，-4）
∴“帶線”L也經過點（0，-4），將（0，-4）代入L的表達式，解得a=2
∴“帶線”L的表達式為 y=2（x+1）²-6=2x²+4x-4；

（2）∵直線y=nx+1與y軸的交點坐標為（0，1），
∴拋物線y=mx²-2mx+m-1與y軸的交點坐標也為（0，1），得m=2，
∴拋物線表達式為y=2x²-4x+1，其頂點坐標為（1，-1）
∴直線y=nx+1經過點（1，-1），解得n=-2，
∴“帶線”L的表達式為y=2x²-4x+1“路線”l的表達式為y=-2 x+1；

（3）設拋物線的頂點為B，則點B坐標為（1，-1），

過點B作BC⊥y軸于點C，又∵點A 坐標為（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路線”l是經過點A、B的直線
且⊙P與“路線”l相切于點A，
連接PA交 x軸于點D，則PA⊥AB，
顯然Rt△AOD≌Rt△BCA，∴OD=AC=2，D點坐標為（-2，0）
則經過點D、A、P的直線表達式為$y=\frac{1}{2}x+1$，
∵點P為直線$y=\frac{1}{2}x+1$與拋物線L：y=2x²-4x+1的交點，
解方程組$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=2{x^2}-4x+1\\ y=\frac{1}{2}x+1\end{array}\right.\\ \;\end{array}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\{y_1}=1\end{array}\right.$（即點A舍去），$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=\frac{9}{4}\\{y_2}=\frac{17}{8}\end{array}\right.$
即點P的坐標為$（{\frac{9}{4}，\frac{17}{8}}）$．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題已經二次函數的應用，解題的關鍵是：（1）根據直線與反比例函數的交點設出拋物線的解析式；（2）根據“一帶一路”關系找出兩函數的交點坐標；