Question

4．如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．

（1）當t=$\frac{1}{2}$秒時，則OP=1，S_△ABP=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ•BP=3．為了證明AQ•BP=3，小華同學嘗試過O點作OE∥AP交BP于點E．試利用小華同學給我們的啟發補全圖形并證明AQ•BP=3．

Answer 1

分析 （1）作PH⊥AB于H，根據運動時間和速度求出OP的長，根據正弦的概念求出PH，根據三角形的面積公式計算即可；
（2）分∠ABP=90°和∠APB=90°兩種情況根據相似三角形的性質計算即可；
（3）根據題意補全圖形，根據平行線的性質和等腰三角形的性質證明△QAO∽△OEP，得到AQ•EP=EO•AO，證明△OBE∽△ABP，根據相似三角形的性質解答即可．

解答 解：（1）作PH⊥AB于H，
∵動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，
∴當t=$\frac{1}{2}$秒時，則OP=1，
∵∠BOC=60°，OP=1，
∴PH=OP×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×AB×PH=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：1；$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（2）①∵∠A＜∠BOC=60°，
∴∠A不可能是直角．
②如備用圖，當∠ABP=90°時，
∵∠BOC=60°，
∴∠OPB=30°．
∴OP=2OB，即2t=2．
∴t=1；
③當∠APB=90°，如圖1，
OP=2t，OH=t，PH=$\sqrt{3}$t，AH=2+t，HB=1-t，
∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，
∴∠APH=∠B．
∴△APH∽△PBH．
∴$\frac{AH}{PH}$=$\frac{PH}{BH}$，即$\frac{2+t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}t}{1-t}$，
整理得4t²+t-2=0，
解得t₁=$\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$，t₂=$\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$（舍去）；
（3）補全圖形，如圖，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B．
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB=∠B．
∵AQ∥BP，
∴∠QAB+∠B=180°．
∵∠OEP+∠OEB=180°，
∴∠OEP=∠QAB．
又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，
∵∠B=∠QOP，
∴∠AOQ=∠OPB．
∴△QAO∽△OEP．
∴$\frac{AQ}{EO}$=$\frac{AO}{EP}$，即AQ•EP=EO•AO．
∵OE∥AP，
∴△OBE∽△ABP．
∴$\frac{OE}{AP}$=$\frac{BE}{BP}$=$\frac{BO}{BA}$=$\frac{1}{3}$．
∴OE=$\frac{1}{3}$AP=1，BP=$\frac{3}{2}$EP．
∴AQ•BP=AQ•$\frac{3}{2}$EP=$\frac{3}{2}$AO•OE=$\frac{3}{2}$×2×1=3．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質，正確作出輔助線、掌握相關定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用和解一元二次方程的一般步驟的熟練掌握．