Question

已知過原點O的兩直線與圓心為M（0，4），半徑為2的圓相切，切點分別為P、Q，PQ交y軸于點K，拋物線經過P、Q兩點，頂點為N（0，6），且與x軸交于A、B兩點．

（1）求點P的坐標；

（2）求拋物線解析式；

（3）在直線y=nx+m中，當n=0，m≠0時，y=m是平行于x軸的直線，設直線y=m與拋物線相交于點C、D，當該直線與⊙M相切時，求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積（結果保留根號）．

Answer 1

解：（1）如圖1，

∵⊙M與OP相切于點P，

∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．

∵點M（0，4）即OM=4，MP=2，

∴OP=2．

∵⊙M與OP相切于點P，⊙M與OQ相切于點Q，

∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．

∴OK⊥PQ，QK=PK．

∴PK===．

∴OK==3．

∴點P的坐標為（，3）．

（2）如圖2，

設頂點為（0，6）的拋物線的解析式為y=ax²+6，

∵點P（，3）在拋物線y=ax²+6上，

∴3a+6=3．

解得：a=﹣1．

則該拋物線的解析式為y=﹣x²+6．

（3）當直線y=m與⊙M相切時，

則有=2．

解得；m₁=2，m₂=6．

①m=2時，如圖3，

則有OH=2．

當y=2時，解方程﹣x²+6=2得：x=±2，

則點C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．

同理可得：AB=2．

則S_梯形ABCD=（DC+AB）•OH=（4+2）×2=4+2．

②m=6時，如圖4，

此時點C、點D與點N重合．

S_△ABC=AB•OC=×2×6=6．

綜上所述：點A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2或6．