Question

【題目】已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝，BC＝3，在BC邊上取兩點E，F（點E在點F左側），以EF為邊作等邊三角形DEF，使頂點D與E在邊AC異側，DE，DF分別交AC于點G，H，連結AD.

（1）如圖1，求證：DE⊥AC；

（2）如圖2，若∠DAC＝30°，△DEF的邊EF在線段BC上移動.寫出DH與BE的數量關系并證明；

（3）若30°＜∠DAC＜60°，△DEF的周長為m，則m的取值范圍是 .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DH與BE的數量關系是：DH﹣BE＝1，理由見解析；（3）6＜m＜9

【解析】

（1）先判斷出∠C＝30°，再利用等邊三角形的性質即可得出結論；

（2）先判斷出AD∥BC，進而判斷出四邊形ABEN是矩形，再用銳角三角函數求出ND＝1，即可得出結論；

（3）先求出∠DAC＝30°和60°時的等邊三角形的邊DE的長，即可得出結論.

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝3，

∴tan∠C＝

∴∠C＝30°

∵△DEF是等邊三角形

∴∠DEF＝60°

∴∠EGC＝90°

∴DE⊥AC

（2）DH與BE的數量關系是：DH﹣BE＝1

理由：如圖1，∵△DEF是等邊三角形

∴∠DFE＝∠DEF＝60°

∵∠DFE＝∠C+∠CHF，∠C＝30°

∴∠CHF＝30°

∴∠DHA＝30°

∵∠DAC＝30°

∴∠DHA＝∠DAC

∴DA＝DH

過點E作EN⊥AD于N，則∠ANE＝90°，

∵∠DAC＝∠C＝30°

∴AD‖BC

∴∠BEN＝90

又∵∠B＝90°

∴四邊形ABEN是矩形

∴AN＝BE，AB＝EN＝

∵AD‖BC

∴∠DEF＝∠NDE＝60°

∴tan∠NDE═tan60°＝

∴ND＝1

∵AD﹣AN＝ND，DA＝DH，AN＝BE

∴DH﹣BE＝1，

（3）當∠DAC＝30°時，平移DE，使其過點B時，如圖2，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝90°，

∵∠ABC＝90°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠DBC＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝30°，

在Rt△ABD中，AB＝，∠ABD＝30°，

∴DE＝DB＝2，

由于∠ABD不變，∠DAC增加時，∠BAD增加，即：DE增加，

∵∠DAC＞30°，

∴DE＞2，

∴m＞2×3，

即：m＞6，

當∠DAC＝60°時，平移DE，使其過點B時，如圖3，

∵∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝120°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠DBC＝60°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝30°，

∴∠ADB＝30°＝∠ABD，

∴AC⊥BD，BD＝2BG，

在Rt△ABG中，AB＝，∠ABD＝30°，

∴BG＝，

∴DE＝BD＝2BG＝3，

∵BC＝3，

此時點F和點C重合，

由于∠ABD不變，∠DAC減小時，∠BAD減小，即：DE減小，

∵∠CAD＜60°，

∴DE＜3，

∴m＜3×3，

∴m＜9，

即：m的取值范圍是：6＜m＜9，

故答案為：6＜m＜9.