Question

6．如圖，已知一張直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上的點，連接EF．
（1）如圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，已知AE=2.5，求△AEF的面積．
（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在BC邊上的點M處，且使MF∥CA．
①試證明：四邊形AEMF是菱形．
②求CM的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明△AEF∽△ABC，可得$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²=（$\frac{2.5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$）²=$\frac{1}{4}$，由此即可解決問題．
（2）①只要證明AE=EM=MF=AF即可．
②設AE=x，則EM=x，CE=4-x，由四邊形AEMF為菱形，推出EM∥AB，推出△CEM∽△CAB，可得$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，求出x的值，再利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，由折疊可知，EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²=（$\frac{2.5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△AEF=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{3}{2}$．

（2）如圖2中，①由折疊可知，AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥CA，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF是菱形．

②設AE=x，則EM=x，CE=4-x，
∵四邊形AEMF為菱形，
∴EM∥AB，
∴△CEM∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，
∴AE=EM=$\frac{20}{9}$，CE=$\frac{16}{9}$，
∴CM=$\sqrt{（\frac{20}{9}）^{2}-（\frac{16}{9}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理、菱形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用此時構建方程解決問題，屬于中考常考題型．