Question

10．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規(guī)律：
（1）在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應的等式；
請猜想1+3+5+7+9+…+19=100；
（2）試用含有n的式子表示這一規(guī)律：
1+3+5+7+9+…+2n-1=n²；（n為正整數）
（3）請用上述規(guī)律計算：①1+3+5+…+99
②101+103+105+…+2015+2017．

Answer 1

分析 （1）根據圖示和數據可知規(guī)律是：等式左邊是連續(xù)的奇數和，等式右邊是等式左邊的首數與末數的平均數的平方，據此可得；
（2）利用（1）中的規(guī)律可得；
（3）①1+3+5+…+99=（$\frac{1+99}{2}$）²=50²；
②由1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2017=1009²，1+3+5+7+…+99=50²，兩式相減可得101+103+105+…+2017=1009²-50²=1015581．

解答 解：（1）觀察，發(fā)現規(guī)律：1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，…，
∴1+3+5+…+（2n-1）=n²，
∴④1+3+5+7+9+…+19=10²=100．
故答案為：100．

（2）由（1）知，1+3+5+…+（2n-1）=n²，
故答案為：2n-1；

（3）①令2n-1=99，
解得：n=50，
∴1+3+5…+99=50²．
②∵1+3+5+7+…99+101+103+105+…+2017=1009²，
1+3+5+7+…+99=50²，
上式減去下式可得：101+103+105+…+2017=1009²-50²=1015581．

點評 本題主要考查數字的變化規(guī)律和圖形的變化類及實數的運算，根據圖形得出等式左邊是連續(xù)的奇數和，等式右邊是等式左邊的首數與末數的平均數的平方是解題的關鍵．