Question

18．如圖（1），將一塊長方形紙板擺放在平面直角坐標系中，使長方形紙版的一個直角頂點B與坐標原點重合，兩條邊與坐標軸重合，已知BC=4，AB=3．
（1）求直線AC的解析式；
（2）將長方形紙板的一個直角沿AE折疊，使B點恰好落在線段AC上的B′處，折痕AE交BC邊于點E（圖（2）），求點E坐標；
（3）在（2）的條件下，直線AC上是否存在一點P，使得S_△ADP=2S_△ABE？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：C（4，0）、A（0，3）．設AC的解析式為y=kx+b，將點A、C的坐標代入得到關于k、b的二元一次方程組，從而可求得k、b的值，于是可得到直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC=5，由翻折的性質可知：∠EB′C=90°，BE=BE′，B′C=2，設BE=B′E=x，然后在Rt△B′EC中，由勾股定理列出關于關于x的方程，從而可求得BE=$\frac{3}{2}$；
（3）①如圖（1）所示：過點P作PF⊥AD，垂足為F．由S_△ADP=2S_△ABE，可求得PF=$\frac{9}{4}$，從而得到點P的縱坐標P_y=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，將y=$\frac{7}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可求得x=$\frac{5}{3}$，從而得到點P的坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）；
②如圖（2）所示：過點P作PF⊥AD，垂足為F．由①可知：PF=$\frac{9}{4}$．可求得點P的縱坐標P_y=$\frac{25}{4}$．將y=$\frac{25}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3可求得x=-$\frac{13}{3}$，于是得到點P的坐標為（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．

解答 解：（1）∵BC=4，AB=3，
∴C（4，0）、A（0，3）．
設AC的解析式為y=kx+b，將點A、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
則直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
∵由翻折的性質可知：BE=B′E，AB=AB′=3，∠B=∠AB′E=90°
∴B′C=5-3=2，∠EB′C=90°．
設BE=B′E=x，則EC=4-x．
在Rt△B′EC中，由勾股定理得：EC²=EB′²+B′C²，即（4-x）²=x²+2²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴BE=$\frac{3}{2}$．
∴點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，0）．
（3）①如圖（1）所示：過點P作PF⊥AD，垂足為F．

${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}AB•BE$=$\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∵S_△ADP=2S_△ABE，
∴S_△ADP=2×$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{2}$．
∴$\frac{1}{2}×AD•PF=\frac{9}{2}$，即$\frac{1}{2}×4×PF=\frac{9}{2}$．
解得：PF=$\frac{9}{4}$．
∴點P的縱坐標P_y=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$．
將y=$\frac{7}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得：$-\frac{3}{4}x+3=\frac{7}{4}$．
解得：x=$\frac{5}{3}$．
∴點P的坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
②如圖（2）所示：過點P作PF⊥AD，垂足為F．

∵由①可知：PF=$\frac{9}{4}$．
∴點P的縱坐標P_y=$\frac{9}{4}+4$=$\frac{25}{4}$．
將y=$\frac{25}{4}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得：-$\frac{3}{4}$x+3=$\frac{25}{4}$．
解得：x=-$\frac{13}{3}$．
∴點P的坐標為（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．
綜上所述，點P的坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{7}{4}$）或（-$\frac{13}{3}$，$\frac{25}{4}$）．

點評 本題主要考查的是一次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數的解析式、勾股定理、三角形的面積公式、一次函數圖象上點的坐標特點，根據點P在線段AC上、在P在線段AC外分類畫出圖形是解題的關鍵．